離散フーリエ変換の練習（平滑化フィルタ）

平滑化フィルタの離散フーリエ変換をしてみよう

１．はじめに、1,2,1の平滑化フィルタを準備します。

この1,2,1のフィルタを１６画素に周期性を考え配置します。
（カーネル値を1,2,1として考えても良いのですが、ここではカーネル値の和が１となるようにするために、0.25,0.5,0.25とします。）
（注）・・・・・・カーネル値とは各々ピクセルの数値のことだと考えてください
０番目の画素にに0.5、１番目の画素に0.25、１５番目の画素に0.25を配置します。

２．つぎに、２つの式を準備します。
　 この式の右辺のＮはピクセルの個数です。
　　（ここでは16ピクセルなのでＮは16となります。）

２．ｕは周波数の番号で、周波数ではありません。この番号も０からはじまり ます。
ｕ＝０とは0番目の周波数を意味します。ｕ＝１は１番目の周波数のことです。
ｕの周波数は（ｕの番号）／Ｎとなります。 R(u)の式に代入していきます。

式は次のようになります。
( N=16 、uは０から15まで、ｘも０から15まで)

周波数u=０番目　周波数では０／16のR(u)は
（ｕ＝０、Ｎ＝16　ｘは変数で０〜15）
周波数u＝１番目　周波数では１／16のR(u)は
　（ｕ＝１、Ｎ＝16　ｘは変数で０〜15）

周波数u＝14番目　周波数では14／16のR(u)は
　（ｕ＝14、Ｎ＝16　ｘは変数で０〜15）
周波数u＝15番目　周波数では15／16のR(u)は
　（ｕ＝15、Ｎ＝16　ｘは変数で０〜15）



このようにｕ＝16番目まで計算してみてください。Ｅｘｃｅｌで計算したら簡単です。


３． 同じようにＩ(u)も計算します。

４． 計算されたR(ｕ)、Ｉ(u)からSQR(R(ｕ)２+Ｉ(u)２)　を計算しま す。
　　　　　　　　　（SQRとは√のことです。）


５． 横軸にu＝０のときの周波数（０／16）、u＝１のときの周波数（１／16）、u＝２のときの周波数（２／16）……u＝14のときの周波数（14／16）、u＝15のときの周波数（15／16）を取り、それぞれの周波数におけるSQR（R(ｕ)２+Ｉ(u)２）の値をプロットすると周波数特性が求まります。


６． 結果

最高空間周波数は0.5（8/16）なので８画素までの値をプロットすると、実空間での0.25,0.5,0.25 は下のような特性になります。