基礎２

核医学画像処理の基礎（２）

波形

マス目に整数（実数もあります）を入れたものがフィルタであると説明しました。その他にどのようなフィルタがあるか調べてみます。

先の平滑化フィルタは一般に低域通過フィルタといい、低域周波数はそのままにして高周波数を滑らかに低下させ雑音（ザラザラ）を取り除くものらしいです。え？？？？周波数？？先ほど周波数は後でと言ったのですが、ここに来て周波数のことを少し入れないと説明できなくなってしまいましたのでこの話を少しします。

はじめに周波数について説明します。高校で習った正弦波を思い出してください。式ではy = sinθとなっていたことをぼんやりと記憶していることと思います。確かθは角度の単位……

θ＝０°　　のときはy = sinθ＝sin0°　でsin0° ＝0だから y =0
θ＝３０°　のときはy = sinθ＝sin30°　でsin30° ＝0.5だから y =0.5
θ＝４５°　のときはy = sinθ＝sin45°　でsin45° ＝0.707だからy =0.707
θ＝９０°　のときはy = sinθ＝sin90°　でsin90° ＝1.0だから y =1.0
θ＝１８０°のときはy = sinθ＝sin180° でsin180°＝ 0だから y =0
角度θをつぎつぎに変化させてθとｙの関係を図にしてみましょう。下の図ができあがりました。ここで周期の定義をおぼえます。

周期とは波の山～次の山（谷～次の谷）までと約束されていますから、角度で示すと周期は正弦波では谷～谷までの３６０°が１周期になります。周波数は今は横軸に角度θとしていましたが、５×５ピクセルの画面上には角度の単位はありません。あるのは横方向を表すピクセル単位かｃｍ単（ピクセルをｃｍに変換）のみです。そこで、角度θをｃｍの単位にする良い方法がないのか考えてみます。

角度とラジアン

私たちが図形問題で角度を求めるときは３０°とかの「度」の単位を用いてきました。この「度」はわかりやすく便利な単位なのですが、積分や微分とかの代数を用いた計算では不便きまりない単位であることは経験から理解できると思います。

このような時には、「ラジアン」という単位が用いられています。ラジアンは下の図のように　θ＝ｓ/ｒ　と定義されています。

したがって、半径をｒとする円周は２πｒ、２πｒの角度は３６０°なので

θ＝ｓ/ｒ＝２πｒ/ｒ＝２π　となり
２π（ラジアン）＝３６０°
となるわけです。

これにより横軸の角度の単位はラジアン単位に変更できました。

この関係を図にしてみました。ここでの周期は角度をラジアンに変更しましたから１周期は３６０°から２πに変わりました。

しかし、これでも横軸は角度からラジアンに変わっただけで、ピクセル単位かｃｍ単（ピクセルをｃｍに変換）になっていませんから不都合です。下の図を見てください。

図の横軸はラジアン単位、その周期２πを距離の単位でT （ｃｍ）としますと、２πはTに対応していますので角度（θ）は距離（ｘ）となります。

２π：T　＝　θ：　ｘ

　　　　　　　　　より

　　　　θ＝２πｘ／T

　　　　　　　　　となり

　　　　ｙ＝sinθ＝sin（２πｘ／T）

　　　　　　　　　となります。
これでｙ＝sinθが距離の単位（ｃｍ）で表せるようになり、ピクセルの画像にも応用できるようになりました。ここで"画像はピクセル単位でｃｍ単位ではない"と言う人は、ピクセルをｃｍ単位に直してみてください。
"ピクセルしかだめ！"な人は、ｘ、Tをピクセルとして計算してください。

周期と周波数

周期とは波の山～次の山（谷～次の谷）までだとおぼえました。次は、周波数とはなにかを理解します。周波数とは単位（ｃｍ、秒など）当たりの波の回数だと思ってください。

波の周期が１０ｃｍであると仮定して話を進めます。

周期が１０ｃｍと言うことは１０ｃｍで１つの波であることですから、単位当たりの波は（ここでは１ｃｍ）１／１０波となります。この単位は（サイクル／ｃｍ）で示されます。ｃｍをピクセル単位に変えると、（サイクル／ｃｍ）は（サイクル／ピクセル）となります。

２ｃｍに１つの波のときの周波数は１／２（サイクル／ｃｍ）、２ピクセルで１つの波のときには１／２（サイクル／ピクセル）……となります。　周波数（ｕ）と周期（Ｔ）の関係は
　T　＝　１／ｕ
となることが理解できます。よって

ｙ＝sinθ＝sin（２πｘ／T）＝　sin（２πｘ u）

とも書けます。

ここで重要なことを説明しますのでこれだけはおぼえてください。
私たちの観察する画像はピクセルによって表現されています。１周期の正弦波を作るには１ピクセルではできません。最低２ピクセルが必要になります。一番細かな正弦波は、2ピクセルで１周期となります。したがって、この周期は２ピクセルであるので周波数は１／２＝0.5（サイクル／ピクセル）となり、これが最高の周波数（最高周波数・ナイキスト周波数）と呼ばれています。
したがって、デジタル画像にはこれ以上の周波数は含まれないことを理解しておいてください。