逆投影とは？

SPECT画像を作るのは

１）投影データに２次現で前処理フィルタを施す。
２）投影データから作りたい断層面を選ぶ（スライス面の決定）。
３）そのスライス面に再構成フィルタを施す。
４）再構成フィルタを施したスライス面を逆投影する。

の手順でおこないます。

では、選んだスライス面を実際に逆投影するのはどのようにしたらよいのでしょうか？

固定座標と回転座標の考え方

固定座標とはSPECT画像を表示させる画面であると理解してください。回転座標とは検出器で収集したデータの画面であると思ってください。
逆投影とは、検出器で収集されたデータを、固定座標とした面に投影することです。
下の図で説明します。

aは側面の投影データです。例えば６０枚の投影データを得たとしますと、aのような角度毎の投影データ６０枚できます。そこで、得たい断層面を決定（a図の１〜３）し、その角度毎のスライスデータをcのように固定座標に逆投影すれば、bに示すSPECT断層面ができあがります。

このとき必要となるのが、固定座標と回転座標の考え方です。私たちは投影データから逆投影して、固定座標にSPECT断層画像をつくる訳ですから、投影データが得られている座標（回転座標）とSPECT断層面が出来あがる座標（固定座標）の関係がわかっていないと困ります。
しかし、この２つの座標は数学的にわかっていますからよいわけです。

上の図で説明します。
固定座標はSPECT断層画像を表示させるところで、回転座標は検出器が投影データを収集するところです。上の図の下段にそれぞれの座標系を書いておきましたが、回転座標（ｓ、ｔ）と固定座標（ｘ、ｙ）の関係は

ｓ＝ｘcosθ＋ｙsinθ
ｔ＝−ｘsinθ＋ｙcosθ

の関係があります。

しかし、逆投影するのは検出器のS座標にある投影データですから、ｓ＝ｘcosθ＋ｙsinθの関係式さえわかっていればよいことになります。
下の図には、０°の角度における投影データ（０°のｓ座標のプロファイルカーブ）と９０°の角度における投影データ（９０°のｓ座標のプロファイルカーブ）を書いておきましたが、これが６０角度分あるということです。この角度毎のｓ座標投影データを固定座標に逆投影すればSPECT断層画像は出来あがります。

では実際に計算してみます。

ｓ＝ｘcosθ＋ｙsinθ

角度０°におけるｓ座標をｆ（ｓ、0°）として、固定座標の（10、10）のｆ（ｓ、0°）を計算します。

ｆ（ｓ、0°）＝10cosθ＋10sinθ=10×cos0°＋10×sin0°＝10×1＋10×0＝１０

となりました。

この意味はｓ座標（スライスデータ）の10ピクセル番は固定座標の（10、10）に相当していますから、逆投影するカウント値は10番目のピクセルのカウント値を返せばいいと言うことになります。

ここで注意してください。
いまの１０ピクセル番目は検出器のピクセルの中心を０ピクセルとして考えて導き出された答えですから、１２８のスライスデータを用いたなら、中心は６４ピクセル番目ですから、この１０ピクセルは（６４＋１０）ピクセル番目＝７４ピクセル番目を意味しています。
また、固定座標の中心も（０、０）にしてあります。

１２８×１２８で数例を計算しておきますので、上の式に代入して確認してください。

（例）

固定座標（１０，１０）としたときの回転角度０°の回転座標（ｓ、０°）の計算

ｓ＝ｘcosθ＋ｙsinθ（ｘ＝固定座標のｘ軸、ｙ＝固定座標のｙ軸、θ＝回転角度）に　固定座標（ｘ＝１０、ｙ＝１０）　回転角０°を代入して計算する

＊回転座標（ｓ、０°）＝１０×cos０°＋１０×sin０°＝１０×１＋１０×０＝１０
＊ｓ座標軸のピクセルは、１０番ピクセルに６４ピクセルを足して７４番ピクセルが答え
＊逆投影するカウント値は、７４番目のピクセルのカウント値を固定座標の（１０、１０）に返せばよい

回転角度が０°、９０°、１８０°、２７０°のときはS座標軸のピクセルは整数で答えがでるのですが、回転角度４５°のような角度がついたときにはどうなるのでしょうか？

回転角４５°のときの計算を上の表のようにして考えてみます。

逆投影するカウント値をみてください。何番目のピクセルを固定座標に返しているのでしょうか？
固定座標（１０、１０）に返すピクセルは７７．７６２２６番目となっています。
しかし、ｓ座標軸（ピクセル）は整数でしか表せません。上の図のｂのようにｓ座標軸（検出器）は１２８×１２８マトリックスの画像であったならｓ座標軸は１２８個の整数でしか表せません。

計算では７７．７６２２６番目のピクセルのカウント値を固定座標（１０、１０）に返せばよいとの結果がでたわけですが、ｓ座標軸には７７．７６２２６番のピクセルは存在しないのです。

では、この存在しない７７．７６２２６番目のピクセルに相当するカウント値をどのように求めたらよいのでしょうか？？？？

近傍補間とは？

１つ目の考え方は近傍補間と呼ばれる方法です。

これは近いほうのピクセル番のカウント値を代用する方法です。計算で求めた７７．７６２２６番目のピクセルは７７番目のピクセルと７８番目のピクセルの間に位置しています。仮に７７番目ピクセルのカウント値が１０カウント、７８番目のピクセルのカウント値が２０カウントであったとしたら７７．７６２２６番目のピクセルは７７番より７８番に近いから、７８番目のカウント値２０を７７．７６２２６番目のカウントであるとしてしまおうとの考えです。したがって、７７．７６２２６番目のカウント値は、７８番目の２０カウントで代用するわけです。

直線補間とは？

一般的にはこの考え方が主流です。

これは隣り合うピクセルのカウント値が直線的に変化すると仮定してｓにおける値を比例計算で求めるものです。

簡単なことです。でも言葉で書いたらごちゃごちゃしますので上の計算した数値を用いて書きます。

７７番目のピクセルのカウント値をｐ（ｍ）＝１０とします。次のピクセルは７８番目です。このカウント値をｐ（ｍ+１）＝２０とします。

これは１ピクセル増えたことでカウント値はｐ（ｍ+１）−ｐ（ｍ）＝２０−１０＝１０カウント増加しています。

計算で求めたSの値は７７．７６２２６でしたので７７番目のピクセルからは７７．７６２２６−７７＝０．７６２２６ピクセル増えたことになりますから、単なる比例計算で、１ピクセルでカウント値は１０カウント増えたのだから、０．７６２２６ピクセル増えるとカウントはどれだけになるのかを求めるだけです。

　１　：　１０　＝　０．７６２２６　：　何カウント増える？

何カウント増える？＝１０×０．７６２２６＝７．６２２６

となりますから７７番目のカウント値１０に増えたカウント値７．６２２６を加えた値（１０＋７．６２２６＝）１７．６２２６が直線補間で求めた値となりますから、１７．６２２６を固定座標の（１０、１０）に返せばよいことになります。

言葉で説明するとこうなりますが、計算式を用いると以下のように表せますからおぼえておいてください。

（１−ｄｍ）×ｐ（ｍ）＋ｄｍ×ｐ（ｍ＋１）

（ｄｍはｓ座標の値とそれを挟む最初のピクセルの距離です。）

（計算例）

ｐ（ｍ）＝１０　で　ｐ（ｍ+１）＝２０として、ｓが７７．７６２２６であったなら　ｍ＝７７、ｍ+１＝７８になりますから

ｄｍ＝７７．７６２２６−７７＝０．７６２２６となります。したがって

（１−０．７６２２６）×１０　＋　０．７６２２６×２０　＝１７．６２２６　

となり答えは同じになります。