理論は理解しないでML-EMをおぼえましょう
ML-EM法？？参考書には期待値とか確率変数、ポアソン分布などの言葉が使われ、私にとっては意味不明の内容がでてきます。この再構成法の理論を把握することは必要なのですが、理論から入っていくと実際の計算を理解するまでには長い道のりがあり挫折してしまいます。
ですからここでは、理論なしに式を丸覚えして、ML-EM法はどのような方法であるのかをはじめに理解して、その後から理論を学びたいとおもっています。
まずは、なにも知らないことを前提にして説明していきます。
最尤推定ー期待値最大アルゴリズム？
被写体を３×３マトリックスで、その中のカウントが１，２，３，４，５，６，７，８，９となっている被写体を検出器０°方向と検出器９０°方向で収集したとします。吸収もなく、検出器にすべて正確に測定されるとすると、０°方向の検出器１番のカウントは縦列の１，４，７の総和１２が計測されます。おなじように２番は１５・・・・となります。
また、９０°方向の検出器１番はマトリックスの横列の１，２，３の 総和６ が計測されます。
しかし、SPECT収集するときには３×３マトリックスの中身はわかりません。私たちにわかるのは、検出器（ ０°）と検出器（ 90°）方向の収集データの値のみです。
すると上の図は下のようになります。
ML-EMとは、検出器の角度方向の収集データから、３×３マトリックスの箱の？の値を推定することです。最尤（さいゆう）推定との言葉があるように、最もら確からしい３×３マトリックスの中の？の値を数学的に決めてやろうとしているだけです。
数式を無視して理解します。
この方法に使用する数式は参考書によくでていますが以下のような数式です。数式の意味は理解しないで、最初はそのまま使ってみます。
この数式をみると”あぁ〜”もう止めた！と思ってしまいます。難しい記号が使ってあるから複雑そうにみえてきます。もっと簡単に書きなおせばよいのかもしれません。こんな数式で収集データから３×３マトリックスの箱の数値を決めるのだ！とくらいに理解しておいてください。
実際に計算して数式の意味を理解しましょう。
ｙ１〜ｙ３は検出器です。３×３マトリックスのaは０°方向の検出器y1に入ってきます。９０°方向でもおなじ検出器に入ってきます。だから数式のyiは検出器に収集されたカウント値になります。
また、数式のλjkは３×３マトリックスのa〜iを意味しています。
数式のいたるところにでてくる Cij は３×３マトリックスのa〜iのカウントが検出器に収集される検出確率を示したものです。検出確率？この値はどうしたら求まるの？？？適当な値でかまいません。なぜなのかは後で述べます。
ですから、aのカウントが検出器で検出される確率も、ｂのカウントが検出器で検出される確率も、ｃ〜iの検出確率は全て１として考えます。０．５でもかまいません。適当な値です。
ここまでで、数式のCij、ｙi、λjkはわかりました。
１） Cijは検出確率で全て１として考えます。
２） ｙiは検出器で収集されたカウントです。
３） λjkはa〜iのカウント値です。
ここから計算に入ります。
Cijの値は全て１にしましたからΣCijも計算できます。
yiもわかっている値ですから問題ありません。
でも、λjkはa〜iのカウント値であったのですが、このa〜iの値はわかっていませんからこまります。しかし、この計算でのa〜iははじめは正の値として考えようとの約束事がありますから、ここでは、最初の３×３の箱に入れるa〜iは１として計算をはじめます。
すると最初の図は下の図のようになります。
ここで疑問です。検出器０°の１番目のカウント値は１２です。しかしこの１２は３×３マトリックスの縦方向の総和として検出される値ですから、１２になるわけがありません。縦の総和は（１+１+１＝３）なのに１２とはおかしい話です。
そこで、本来の３×３マトリクスの縦横列のそれぞれの総和（１+１+１＝）３となる値を図の中にも書きます。そうすると上の図は下のようになります。
ここま理解すれば終わりに近いのです。
この１+１+１＝３の３が数式のΣｊ’＝１ｍ（Cij’λｊ’ｋ）
に相当するのです（検出確率を１としたとき）。
以上のことから、
３×３マトリックスaの計算は
１）λjkはaですので１
２）Σi=1m（Cji)は０°と９０°方向での総和ですから、１+１＝２となります。（Cijは全て１としてますからこのようになります。）
３）Σi=1m(yiCji)は（１２×１＋６×１）となります。（０°方向のyiは１２、９０°方向のyiは６で、Cjiは全て１ですからこのようになります。）
４）Σｊ’＝１ｍ（Cij’λｊ’ｋ）＝１×１+１×１＋１×１＝３
です。
実際に計算してみましょう！
［１］．１回目の計算
１）３×３マトリックスの箱の中を１とします。
ここでCijは１としました。
aに初期値として１を入れています。
検出器１番目の計算からはじめます。その答えをa'とします。
a' = 1／（１＋１）×（（１２×１／３）＋（６×１／３））＝１／２×（４＋２）＝３．０
これで終わりです。
b'も計算します。
b'＝1／（１＋１）×（（１５×１／３）＋（６×１／３））＝１／２×（５＋２）＝３．５
おなじようにc'〜i'まで計算します。
c'＝1／（１＋１）×（（１８×１／３）＋（６×１／３））＝４
ｄ'＝1／（１＋１）×（（１２×１／３）＋（１５×１／３））＝４．５
e'＝1／（１＋１）×（（１５×１／３）＋（１５×１／３））＝５
ｆ'＝1／（１＋１）×（（１８×１／３）＋（１５×１／３））＝５．５
ｇ'＝1／（１＋１）×（（１２×１／３）＋（２４×１／３））＝６
ｈ'＝1／（１＋１）×（（１５×１／３）＋（２４×１／３））＝６．５
ｉ'＝1／（１＋１）×（（１８×１／３）＋（２４×１／３））＝７．０
すると最初の箱のa〜i＝１は下のa'〜i'のようになります。
［２］．２回目の計算
これも先ほどとおなじように計算します。次の答えをa''〜i''とします。
a''〜i''を計算します。
a''＝３／（１＋１）×（（１２×１／１３．５）＋（６×１／１０．５））＝２．１９
b''＝３．５／（１＋１）×（（１５×１／１５）＋（６×１／１０．５））＝２．７５
c''＝４／（１＋１）×（（１８×１／１６．５）＋（６×１／１０．５））＝３．３２
d''＝４．５／（１＋１）×（（１２×１／１３．５）＋（１５×１／１５））＝４．２５
e''＝５／（１＋１）×（（１２×１／１５）＋（１５×１／１５））＝５
i''＝７／（１＋１）×（（１８×１／１６．５）＋（２４×１／１９．５））＝８．１３
すると答えは下のようになります。
［３］．３回目の計算
また同じ計算をします・・・・・この繰り返しの計算を２６回繰り返すと下のような結果になります。
２６回目の計算結果
この結果をみると、検出器０°の収集データと３×３マトリックスの縦列の総和（赤）、検出器９０°方向の収集データと３×３マトリックスの横列の総和（赤）が等しくなっています。これが等しくなったところで計算を止め、マトリックスの中身をみます（ここでは四捨五入）。
１．４６ → １
１．９９ → ２
２．５４ → ３
３．９６ → ４
４．９９ → ５
６．０４ → ６
６．５７ → ７
８．０１ → ８
９．４２ → ９
すると、３×３マトリックスの箱の中身は
と解るのです。これがML-EMの概略です。
