標本化と量子化

標本化？

標本化を簡単に述べたら、連続する画像を離散的な画素に分割することです。
画素で考えたら、連続的な画像を１２８分割するとが標本化です。
例えば４０ｃｍの有効視野のガンマーカメラの画像を１２８×１２８マトリックスにすると、１画像は４０ｃｍ÷１２８＝０．３１２５ｃｍとなります「１ピクセル０．３１２５ｃｍでスキャンした画像」との表現もできますし、「サンプリング間隔０．３１５ｃｍの画像」、「１２８×１２８で標本化した画像」とも言われます。
とにかく標本化とは分割することなのです。

この「１ピクセル０．３１５ｃｍ」は空間周波数で示すと、「１/0.315＝３．１７cycles/cm」となり　これをサンプリング周波数と呼んでいます。
これを言葉で示したら、「１ｃｍで３．１５回標本化する」ということになります。

標本化定理（サンプリング定理）では、デジタル信号はサンプリング周波数の１/２の周波数のアナログ信号までしか表現できないことになっていますから、ここではサンプリング周波数は３．１７cycles/cmですので３．１７/２＝１．５８５cycles/cmのアナログ信号までしか表現できないことになります。

＜補足＞

実空間の連続する分布を、離散的な分割されたピクセルでデータをとってきて、それをフーリエ変換し、そのフーリエ変換したものを逆フーリエ変換して、もと連続する分布を復元することを空間周波数領域の処理になるのですが、ここで問題となるのが、この連続分布をいくつに分割してデータをとってくるかです。
粗い分割でデータを離散的に分割し、それをフーリエ変換しこれを逆フーリエ変換すると、復元されたものは元の連続した分布を忠実に表現できないことがおこります。
では、どれだけの間隔でデータをとってきたらいいのかですが、これは「標本化定理」というもので決まっています。
「元の連続する分布をデジタルで完全に復元するには、連続する分布の最大の周波数の２倍の周波数で標本化すればよい」
となっています。

この標本化定理は言葉としては理解できるのですが、実際にはどうすればよいのかと思いませんか？
連続する分布の最大の周波数？これを知らなければならないことになります。この最大の周波数決めるには連続する分布をフーリエ変換すればよいのですが、これを決めるのにも離散信号に変換しなければ求まりません。これではいつまでたっても正確な最大の周波数は求まってきません。

そこで便宜的にこの最大周波数を先に決めてしまうことがとられます。
１）あらかじめ必要な最大周波数W（lines/mm)をきめて、連続分布の長さL(mm)を１/２W（mm)で分割する。
２）矩形パルス関数から近似する。

などがありますが、詳細は参考書で調べてください。

量子化？

連続する画像を１２８で分割することが標本化でした。その標本化された１つの画素の濃淡を量子化といいます。
濃淡？整数値をふることです。
１画素に１または０を与えると、これは１または０の２の濃淡をもった画像となります（２値化画像）。
１画素を２５６の整数が入るようにしてあげると、画像は２５６階調＝８ビットの画像になります。

標本化と量子化とデータ量について

１２８×１２８×８ビットとは何でしょう？

上の例では有効視野４０ｃｍを１２８分割してデジタル画像としていました。１ピクセルの大きさは０．３１５×０．３１５ｃｍでした。
この１２８×１２８は標本化した画素となります。このデータの画素数は１２８×１２８＝１６３８４画素となります。
次の８ビットが量子化の数です。

これからこのデータ量を計算すると１６３８４の箱に８ビットの量があるわけですから、１６３８４×８ビット＝１３１０７２ビットとなります。

このように、１２８×１２８×８ビットとの表現はデータ量を表しています。

＜注＞
８ビット＝２５６階調なのですが、画像系では画像表示のために１０ビット以上の濃淡が使用されていることが一般的ですので、８ビットはあまりおめにかかりません。１０ビット＝１０２４階調であったとしても、パソコンには１０ビットで保存されるようなものはなく、１０ビットデータを持つものは８ビットの次の１６ビットの容量を用いています。したがって、１２８×１２８×１０ビットと記述してあっても、これは１２８×１２８×１６ビットのデータ量があるものだと認識しなければならないと思います。パソコンのメモリーの最小単位は１バイト＝８ビットですので、８ビットに入りきらない数は、２バイト＝１６ビット準備しておく必要があります。