統計の話（７）・・・・・t-検定をするまえの準備�A

１．はじめにもどり統計ついて理解します。

　正規分布とは難しく書いたら確率密度関数で定義されるのですが、いまはこれについては触れませんが、あの釣鐘型をした分布だとおぼえてください。小　学校３年生の身長や体重、正常な患者さんの血圧、缶コーヒーの容量・・・・このほかにもいっぱいあります。このようなデータを全て集めてきて度数分布　表でも作って形を調べますと、みなおなじような釣鐘状の分布となってきます。この分布が正規分布と呼ばれるものです。無限大に近いデータをとってき　　て調べてば正規分布をなすのだと思ってください。

　再度お断りします。これからの事柄は重要だと私はおもっています。長くまた説明がややこしくなるとおもいますが、私自身にわかる簡単な言葉で書きま　　すが、統計上ふさわしくない語句や意味を使うことがあると思いますのでご容赦願います。



２．Ａ病院で調べた正常な脳のカウントはの平均はどうなのか？

　いまＡ病院で正常な人のＳＰＥＣＴ検査をして、大脳のカウントを測定したら　４０カウントと５０カウント、６０カウントであったとします。３例だけしか検査して　おりません。この３例から正常な脳のカウントを推定しなければなりませんので大変なことです。この３例は正常な脳のＳＰＥＣＴをおこなった患者さんの　　分布から、たまたまとりだされたカウントであり、本来の正常脳のカウントはもっと多いかもしれません。なにもわからないのです。この３例のカウントが、　　正常な脳のカウントの平均値を示しているのかを調べないと本当かどうかもわかりません。ではどうすればよいのでしょうか？

　はじめに３例の平均値ｘを求めます。（４０＋５０＋６０）/３＝５０カウントとなりました。次は標準偏差を求めます。

ここからが重要です。標準偏差を前頁で定義した標本標準偏差（分母をｎ−１で割った値）とするのか、おなじく定義した標準偏差（分母をｎで割った値）とするのかを明確にしないと、これから調べようとする区間推定での式が違ってきて混乱します。ここでは標準偏差を標本標準偏差として計算する約束にします。

　　　　　　　　　　標本標準偏差ｓは　ＳＱＲ［（（４０−５０）＾２＋（５０−５０）＾２＋（６０−５０）＾２）/ （３−１）］　＝　１０


また重要な約束がでてきます。いま私たちは３例のカウントが母集団（正常な脳の全例）の平均値に対してどの程度の値であるのかを考えようとしてたわけです。

標本から求めてきた平均値ｘは母集団の平均値μに対して大きくもならず小さくもならない値（母平均の不偏推定値）であるとわかっています。この説明は統計の話（）でしました。母平均の不偏推定値とは簡単にいったら、母集団の平均値μを、標本から求めた平均値ｘで代用しても問題にならない値であるとくらいに理解してください。　全正常脳は正規分布するとの仮定にたって話を進めてきましたから、平均値ｘが母集団の平均値μを代用できる値であるわけですから、分布もおなじ正規分布になると思われます。

　　　　　　　　　　　　　　　　　標本から求めた平均値ｘは母集団の平均値μを表している。

次は求めた標準標本偏差が母集団とどのような関係であるかを調べることが必要になります。全頁の表にあるように不偏分散は母分散の不偏推定値であると書きました。これも平均値と同じように母集団の分散を表してることを意味します。ですからｓ＾２は母集団の分散であるとみなします。ここのｓ＾２は（ｎ−１）を分母とした値であることを確認しておいてください。したがてｓ＾２の分布も正規分布であると思ってください。

　　　　　　　　　　　　標本から求めた分散（不偏分散）ｓ＾２は母集団の分散を表している。（分母は（ｎ−１））

　　　　ここで勘違いしないでください。ｓ＾２は母集団の分布を表しているのですが、これの平方根である標本標準偏差ｓは同じ分布とはな　　　　らないそうです。数学的にはＳＱＲ（ｓ＾２）＝ｓ なのですがこれは数式の形だけのことであり、分布は異なるそうです。


今、何を求めようとしているのかをここで確認します。Ａ病院で求めた平均値ｘと母集団の平均値μの関係を知ろうとしています。

この関係を知るには、Ｚ−scoreのところの関係式を思い出してください。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｚ＝（患者カウントー正常平均）/正常標準偏差・・・・・・・・（１）

これは患者カウントが正常平均より標準偏差で何個分離れているかを計るものでした。これと同じように考えてみます。
患者カウントを標本から求めた平均値ｘ、正常平均を母集団の平均値μとして（１）式を変えてみます。

　Ｚ＝（患者カウントー正常平均）/正常標準偏差　＝　（標本から求めた平均値ｘー母集団の平均値μ）/正常標準偏差

分子は言葉が変わりましたが、分母の正常標準偏差はそのままです。これをどうにかしなければなりません。

ちょっと前の説明で、標本から求めた不偏分散ｓ＾２は母集団の分散とおなじであると書きました。正常標準偏差は標本から求めた不偏分散の平方根（√）であらわされますから、（１）式は不偏分散の平方根＝√ｓ＾２＝ｓ（正常標準偏差）となります。
したがって、式（１）は

　　　　　　Ｚ＝（患者カウントー正常平均）/正常標準偏差　＝　（標本から求めた平均値ｘー母集団の平均値μ）/ｓ・・・・・（２）

と変形できます。

ここで問題となることが出てきました。正規分布の特長は平均値μのまわりに標準偏差σだけばらつくものであることは知っています。ところでＡ病院で測定した標本は、おなじ正規分布をすると考えられる母集団から取り出してきた３例の標本です。１つではありません。１つのときには、平均値μのまわりに標準偏差σだけばらつくのですが、同じ母集団から取り出した標本の平均値のまわりにはどのようにばらつくのか知っておく必要があります。

ここで登場するのが正規分布の加法性です。


３．正規分布の加法性　

　　　　式を簡単にするために、標準偏差σを分散σ＾２として説明します。

　　　　　　　約束１．　母集団の平均値μ、分散σ＾２から取り出された１標本の分布は平均値μと分散σ＾２とおなじ分布となる。

　　　　　　　約束２．　母集団の平均値μ、分散σ＾２から取り出された２標本の分布は平均値μと分散σ＾２の和の分布となる。

　　　　　　　約束３．　母集団の平均値μ、分散σ＾２から取り出されたｎ標本の分布は平均値μと分散σ＾２をｎ個加えた分布となる。　　　

この約束事から、Ａ病院の標本について考えます。３例とも同じ母集団から取り出された標本であると考えると、３例の分布は加法性から

　　　　　　　　　　　平均はμ＋μ＋μ＝３×μ　　　分散はσ＾２＋σ＾２＋σ＾２＝３×σ＾２

となります。

したがって標準偏差はＳＱＲ（３×σ＾２）＝√３×σとなり、分布は平均値は３μ、標準偏差は√３×σとなります。
しかし、いまはこの３例の平均値を求めていたのですから、３例の平均値は３μ/３＝μ、標準偏差は（√３×σ）/３＝σ/√３となります。

このように正規分布の加法性によって、ｎ個の標本平均値ｘは母集団の平均値μのまわりにσ/√ｎの標準偏差で正規分布することになります。


4．再度検討してみる

　Ｚ＝（標本から求めた平均値ｘー母集団の平均値μ）/ｓ　を考えていたのですが、正規分布の加法性からｓは３個の標本平均値ｘは母集団の平均μのまわりにｓ/√３の標準偏差で正規分布すると考えて式を

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｚ＝（標本から求めた平均値ｘー母集団の平均値μ）/(s/√３）



として、正規分布表から、標本平均値ｘと母集団の平均値μの関係を調べればいいのですが、ｓは正規分布でないために、正規分布表から調べることはできません。
　　　（正規分布するのは、不偏分散ｓ＾２は正規分布しますが、数式的にｓ＾２を平方根した標準偏差は正規分布しないのです。）
ではどうすればいいのでしょうか？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｚ＝（標本から求めた平均値ｘー母集団の平均値μ）/(s/√３）　を

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｔ＝（標本から求めた平均値ｘー母集団の平均値μ）/(s/√３）として

この関係をグラフにすればいいことがわかります。すなはち、

　　　　　　　　　　　　　　　　ｔ＝（ｘーμ）/(s/√ｎ）の関係を求めてあるのがｔ−分布表なのです。

ここで求まった値がｔ値となります。


5．結論


ｔ＝（ｘーμ）/(s/√ｎ）に３標本から求めた平均値ｘ＝５０、標本標準偏差ｓ（分母をｎ−１としたもの）＝１０を代入し


　　　　　　　　　　　　　　　　　ｔ＝（ｘーμ）/(s/√ｎ）＝（５０−μ）/（１０/√３）


ここで９０％の信頼区間になる（信頼区間との言葉が突然でてきましたがすみません）値、両側が０．１（両側の面積が１０％）となるような
ｔの値を求めると・・・・（ｔ−表の説明もしていませんでしたが）

（ｎ＝３、　自由度Φ（ｎ−１）＝３−１＝２）　Φ＝２でｐ＝０．１のｔ値は±２．９２０でありますから

　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　±２．９２０＝（５０−μ）/5.77
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　μ＝５０±１６．８５
　
つまり、母集団からとりだした３標本の平均値ｘから母集団の平均値μを推定すると、９０％が３３．１４〜６６．８６カウントになるということなのです。

いま書いた信頼区間とかｔ−表の利用についてはどこかで記述しますけど、今回説明したかったのは下の式（ｔ−分布）が求まるまで仮定を理解してもらうために書きました。これがｔ−分布やＦ−分布を理解してしていく上で重要なことだと思っていますので下記の式を理解しておいてください。



　　　　　ｔ＝（ｘーμ）/(s/√ｎ）がｔー分布を示す（但し、ｓは標本標準偏差（分母をｎ−１で割った標準偏差を利用したとき）

　　　　　ｔ＝（ｘーμ）/(s/√（ｎ−１））・・・・・・・・・ｓは標準偏差（分母をｎで割った標準偏差を利用したとき）